INTEGRALES QUE INCLUYEN FUNCIONES EXPONENCIALES

Para valores reales de x, la integral exponencial Ei(x) se define como \mbox{Ei}(x)=\int_{-\infty}^x\frac{e^t}t\,\mathrm dt.\, Esta definición puede ser utilizada para valores positivos de x, pero a causa de la singularidad del integrando en cero, la integral debe ser interpretada en término del valor principal de Cauchy. Para valores complejos del argumento, esta definición es ambigua a causa de los puntos de ramificación en 0 y en \infty.1 En general, se realiza un corte en el eje real negativo y Ei puede ser definida mediante una continuación analítica en el resto del plano complejo. Se utiliza la siguiente notación,2 \mathrm{E}_1(z) = \int_z^\infty \frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dt,\qquad|{\rm Arg}(z)|<\pi Para valores positivos de la parte real de z, esto se puede expresar como3 \mathrm{E}_1(z) = \int_1^\infty \frac{e^{-tz}}{t}\,\mathrm dt,\qquad \Re(z) \ge 0. El comportamiento de E1 cerca del branch cut puede ser analizado mediante la siguiente relación:4 \lim_{\delta\to0\pm}\mathrm{E_1}(-x+i\delta) = -\mathrm{Ei}(x) \mp i\pi,\qquad x>0,