MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE DOS FUNCIONES VARIABLES.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Dado un campo escalar f: D  R 2 R, D abierto y (x0, y0)  D.  Se dice que (x0, y0) es un punto crítico o estacionario de f si f (x, y) es diferenciable y ( , ) (0, 0) df x0 y0   ( , ) (0, 0) f x0 y0   ( , ) 0 f x x0 y0  y f y (x0 , y0 )  0 . El punto (x0, y0, f (x0, y0)) se llama punto crítico o estacionario de la superficie. El plano tangente en un punto crítico es horizontal. Generalmente los puntos estacionarios de una superficie se clasifican en máximos, mínimos y punto Ejemplos: a) La función 2 2 f (x, y)  x  y tiene un mínimo en el punto (0, 0). El valor de f (x, y)  0 para todo punto de un entorno de (0, 0). Como puede verse, el punto (0, 0) es estacionario: f x y x x ( , )  2 y f x y y y ( , )  2 se anulan a la vez en el punto (0, 0). El plano z = 0 es tangente a ella en el punto (0, 0, 0). b) La función 2 2 f (x, y)  2  x  y tiene un máximo en el punto (0, 0). El valor de f (x, y)  2 para todo punto de un entorno de (0, 0). Como puede verse, el punto (0, 0) es estacionario: f x y x x ( , )  2 y f x y y y ( , )  2 se anulan a la vez en el punto (0, 0). El plano z = 2 es tangente a ella en el punto (0, 0, 2). c) La función 2 2 f (x, y)  x  y tiene un punto de silla en (0, 0). Existen puntos de os de silla.